[Concept] 二補數（2's Complement）除法跟模數的意義

計算機領域，負數常用二補數表示。

很多計算機書籍有介紹二補數，不再贅述。

這裡討論的是：把一個二補數，除以一個數 K，或對 K 取 Mod，得到的答案意義為何？

首先，二補數可視為 2^N （ 2 的 N 次方）減一純量，N 視為無窮大。

例如：-3

二補數表示法為：2^N - 3

二進位表示：(100000000...) - (11)

將 2^N 除以 K 取商，餘數丟棄，K 是 2 的冪次方（2, 4, 8, 16...），此商在數線上意義為何？

把 2^N 看成無窮多個班級所組成的人數，每班 K 人。由於 K 是 2 的冪次方，所以 2^N 人剛好能排滿 n 個班級，n 剛好也是 2 的冪次方：

K

K

K

K

...

K

K

  

做以下觀察：

• 任意正數 P ，(2^N - P) 是 -P 的二補數表示法。
• (2^N - P) / K ＝ n - Q = 2^某次方 - Q，是 Q 的二補數。
• Q = ceiling(P/K)，也就是假如 P/K = 3.45，那麼 Q 就是 3.45 進位 = 4。
• 所以 2^某次方 - Q 就是 - ceiling(P/K) 的二補數表示。
• (2^N - P) % K，也就是取模數，為 K - (P%K) = 1。

結論：

1. 二補數除以 K，K 為 2 的冪次方，商還是二補數。
2. 二補數 Mod K，即取模數，K 為 2 的冪次方，得到的結果，是一個純量，這個純量不是二補數。
3. 二補數除以 K，K 為 2 的冪次方，跟正數除以 K 的意義有一樣的地方，算出的商為一個編號，代表第幾個班級，班級的編號從 0 開始。
   
   例如：P = 第 0, 1, 2, ... , K-1 個同學，被編在編號為 P/K = 0 的班級，P = 第 K+0, K+1, K+2, ... , 2K-1 被編在編號為 P/K = 1 的班級。
   
   同理，P = -1, -2, -3, ... , -K 的同學，屬於編號為二補數 (-P)/K = -1 的班級，-K-1, -K-2, -K-3, ... , -2K 屬於在編號為 -2 的班級。
   
   
4. 二補數 (-P) % K，跟正數 P % K 行為意義有一樣的地方。
   
   假設 K = 8 ，即每 8 個人一班，每班學號從 0 開始到 7，假設 P 等於 15， P/K = 1，P % K = 15 % 8 = 7，代表第 15 人（0-based index）屬於編號為 1 的班級，且學號為 7 的同學。
   
   同理，二補數 (-15)/K = -2，二補數 (-15)%K = 1，所以由 0 開始倒著數，第 -15 個同學屬於編號為 -2 的班級，學號為 1 。

也許很難理解吧，但熟悉一下就會發現其中的奧秘，二補數除法，有時候可以增加運算的效率。